———————————————————-

II.

Jak namalovat násobilkový obraz do hlavy

(Jak postavit silnici)

———————————————————–

Začnu projektem. Před každou stavbou se musí udělat projekt, ne?

A projekt dělám tak, že vezmu papír a pastelky.

Na papír namaluju budoucí silnici. Já neumím nijak valně malovat, ale to nevadí. Silnici namaluju jako dvě vodorovné rovnoběžné čáry přes celý papír, tak 5 cm od sebe vzdálené – a řeknu, že to je silnice. Dítě to vezme – silnici okamžitě pozná.

>

Kolem té silnice porostou stromy, řeknu. Taková alej tam bude. – Víš, co je to alej?

Vykládám o aleji a namaluju na začátek silnice první strom. Tlustý kmen, kulatá koruna. 5 cm výška. Já maluju stromy zrovna takhle, ale je to jedno. Prostě namalujete na začátku silnice strom. A velký kus dál druhý strom u silnice.

A mezi stromy budou stát patníky, řeknu. Vždycky mezi dvěma stromy bude stát deset patníků.

A začnu malovat patníky. Když dítě neví, co je to patník, vykládám mu při kreslení, k čemu jsou u silnice patníky.

Patníky namalovat je ještě snazší než namalovat strom. Namalujete obdélník postavený na kratší stranu. A vedle další. Nezapomeňte, že jich mezi těmi dvěma stromy musí být deset. A každý tak široký, aby se nad něj v případě potřeby vešlo pár čísel.

Když namaluju deset patníků mezi těmi dvěma stromy, řeknu: Ty patníky budou označkované; budou mít čísla. Aby se v nich lidi vyznali. A nahoru na každý patník namaluju krasopisně a obřadně, aby dítě vidělo a aby bylo zaujaté tím obřadem, číslo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Tady mohu s dítětem pohovořit o tom, proč je důležité, aby patníky měly čísla; zjistila jsem to nedávno pomocí osobního zážitku:

Na kandelábrech totiž bývá velmi důležité číslo. Šifra. Když jste někde venku a potřebujete, aby přijela policie, a přitom jim neumíte vysvětlit, kde přesně jste, ale je tam kandelábr – můžete do telefonu na policii nadiktovat číslo toho kandelábru a oni podle toho poznají, kde jste. Takže čísla jsou důležitá pro orientaci v prostoru.

A pak řeknu: Některé ty patníky pro nás nejsou důležité, ale některé jsou. Některé totiž obsahují násobilková čísla. – Které je první násobilkové číslo?

Když dítě neví, co tím myslím, nevadí – pomůžu. Řeknu: Dva krát dva jsou čtyři.

Na to mi zatím kývly všechny děti, které se někdy setkaly s násobilkou. Tento příklad znají; často jako jediný.

A já řeknu: Takže čtyřka je násobilkové číslo.

Obtáhnu patník, na kterém je číslo 4, hodně výrazně, a do něj napíšu 2×2=4.  – To je první naše značka, řeknu.

A pak řeknu: Teď tam ale musíme dát ještě děličku. Víš, co je to dělička?

To děti většinou nevědí. Tak řeknu: Kolik je čtyři děleno dvěma?

Většina dětí ví. Když neví, řeknu.

A do patníku s číslem čtyři pod příklad 2×2=4 napíšu příklad 4:2=2.

A pak řeknu: Tak to bychom měli první násobilkový patník vyřízený. Označili jsme ho – už ho vždycky najdeme. Teď ještě musíme ty příklady napsat na papírky, abychom s nimi mohli hýbat.

A na malý čtvereček – tak 4 x 4 cm – nechám dítě napsat příklad 2×2 a na rubovou stranu toho papírku výsledek – tj. číslo 4. A na jiný malý čtvereček příklad 4:2 a na rubovou stranu papírku výsledek, tedy dvojku.

Papírky odložíme na stranu. Tak to bychom měli, říkám. A dál, pokračuju říkám a ukazuju přitom jednotlivé patníky prstem:

Je pětka násobilkové číslo? – Správně. Není. – A šestka? – Šestka je, protože 3×2=6.

Napíšu do patníku, který má číslo šest, příklad 3×2=6 a dítě napíše na papírek 3×2 a na rubovou stranu výsledek, tedy šestku.

Ale taky 2×3=6, říkám, píšu to na patník a dítě píše na papírek 2×3 a na druhou stranu papírku výsledek, tedy šestku.

A papírky dáme stranou.

A děličky?, ptám se. Když dítě neví, pomůžu. Kolik je šest děleno dvěma? – A napíšu do patníku s číslem šest 6:2=3 a dítě napíše na další papírek 6:2 a na rub výsledek, tedy trojku.

A kolik je šest děleno třema? – Dvě.

A já napíšu do patníku s číslem šest příklad 6:3 a dítě píše na další svůj papírek 6:3 a na jeho rub dvojku.

Už tady na těchto dvou příkladech mohu ukázat tento jednoduchý princip děličky platný pro celou násobilku, až k poslednímu stromu:

Největší číslo v příkladu 6:2=3 dělené jakýmkoli z těch dvou menších čísel je to druhé z těch menších čísel. Šest děleno dvěma jsou tři, šest děleno třema jsou dvě.

To mohu systematicky opakovat i později u vyšších příkladů, aby si na ten fakt dítě zvyklo a naučilo se s ním pružně zacházet. Ušetří si tím pozdější práci.

Tou dobou už máme stranou odložených prvních šest papírků s příklady: 2×2=4, 4:2=2, 2×3=6, 3×2=6, 6:2=3, 6:2=3. To už je dost na jeden projekt. Takže můžeme začít s jeho realizací – tj. vytvářet silnici v hlavě.

K tomu se dobře hodí gauč, nebo velký stůl, nebo koberec na zemi. Prostě větší pracovní plocha. Protože se naše nároky na místo budou zvětšovat s tím, jak naše silnice bude s vyššími příklady delší a delší; budeme pak řadit papír za papír.

A my se svým dítětem jsme odteďka silničáři. A máme těžkou silničářskou techniku – máme parní válec, na kterém alejí pomalu jedeme, máme asfaltový stroj, máme patníkáč, který bude vyrábět patníky, bagr na díry na stromy a tak. Tvořivé děti rádi k tomu přidávají další nápady. A s tím vším budeme stavět silnici, sadit stromy, usazovat patníky.

Poslední patník, který budeme stavět až za dlouho, bude mít číslo devadesát; tam malá násobilka končí. Dokonce končí dřív – už u čísla 81 – a když se dítě zajímá, jaký je tam příklad, můžeme prozradit znění: „9×9=81.“ – Po určitém „zdráhání“ samozřejmě! Aby dítě o to víc toužilo to vědět a jeho mozek se pod vlivem té touhy správně nastavil! – Tím máme fóra. Dítě má pocit důležitosti, protože ví příklad s nejvyššími čísly – a nám se to bude hodit – s posledním násobilkovým číslem budeme mít minimum práce.

Mimochodem – to bývá v lidském uvažování také dosti pravidelné: poslední věc je důležitá, protože je poslední – něco ohraničuje, a tak se lépe pamatuje. Málokdo míval jako dítě potíže s příkladem „9×9“. V cestě mu stály horší překážky u mnohem nižších čísel – indiferentních, takže špatně zachytitelných: „7×4, „6×7, „8×7 apod.

Celou stavbu, resp. jízdu začínám novým společným obřadným malováním silnice – teď už trošku větší (aby se tam vešly ty dětské papírky s příklady) a výraznější; mohu např. použít fixky – nebo nějaké vzácnější pastelky – a při kreslení dávám najevo, že teď už to není jen projekt, ale faktická realizace společné stavby, která skončí až u čísla 81. (Mimochodem, co že to bylo za příklad? – tuto udičku lze nahodit vždy, když se zmíní konec silnice – aby se to v dítěti utvrdilo). Maluju já, dítě se dívá a může radit a navrhovat; už ví, o co jde.

A cestu pak začínáme znova u patníku č. l – a odsud obřadně jedeme od čísla k číslu. U každého zastavíme se stejnou otázkou:

Ukážu na patník č. 1, který je hned za prvním stromem, a ptám se: Je jednička násobilkové číslo? – Není. Správně. Můžeme jet dál.

Ukážu patník číslo dvě a ptám se: Je dvojka násobilkové číslo? Leda v násobilce jedné, ale tu ty umíš, takže tu se učit nebudeme.(Když dítě neví, co je násobilka jedné, vysvětlím mu ji: jedenkrát jedna je jedna, jedenkrát dvě jsou dvě atd. Znova upozorním, že tu budeme teď vynechávat.). Pak se vrátím na silnici k patníku číslo dva, dám k němu prst a řeknu: Jedeme dál.

Posunu prst k patníku číslo tři a ptám se: Je trojka násobilkové číslo? – Taky není. Dobře. Jedeme dál. – Je čtyřka násobilkové číslo? – Ano.

A patník číslo čtyři krásně obtáhnu (stejně jako později každý patník s čerstvě identifikovaným násobilkovým číslem) či ho spolu vybarvíme – prostě ho zpevníme. Jako silničáři.

A ptám se: A jaký příklad ke čtyřce patří?

Když dítě neví, smí se podívat do papírků, které předtím psalo a které jsme dali stranou. Ty, které se týkají čtyřky, vybereme. A dítě z nich postaví sloupeček pod patník s číslem čtyři.

Tenhle konkrétní sloupeček pod patníkem č. 4 je tedy složen ze dvou příkladů: 2×2=4 a 4:2=2.

A já pokračuju – s ukazováním na každý patník:

A jdeme dál: pětka – je násobilkové číslo? – Není. Správně. – A šestka?

Vždy nechávám odpovídat dítě – jenom když si není jisté, tak jemně pomáhám.

Sloupeček pod patníkem číslo šest by měl být složen už ze čtyřech příkladů:

• 3×2 (na rubu šestka)
• 2×3 (na rubu šestka)
• 6:3 (na rubu dvojka)
• 6:2 (na rubu trojka).

Jeden by řekl, že hrát si s takovými jednoduchými příklady je zdržovačka. Ale já musím jednak v dítěti udělat systém, a jednak hra s něčím, co se daří, je pro děti ve škole věčně s násobilkou neúspěšné balzám na jejich nervy.

Pozor na komplikované patníky číslo 12, 16, 18 a 24 – schází se tam násobilka dvou čísel – takže až dojedeme například k patníku číslo 18, stavíme k němu příklady:

• 2×9
• 9×2
• 18:2
• 18:9
• 3×6
• 6×3
• 18:3
• 18:6

Teprve od takto dokončeného patníku můžeme jet dál!

Pokud dítě nemá potíže se schopností představit si v duchu číselnou řadu, může stavět své patníkům podobné sloupečky z papírků kousek pod ten papír – přímo na gauč či na stůl - vždy tam, kde by na té pracovní ploše pod papírem trčelo dané násobilkové číslo mezi ostatními (tj. přesně pod daný patník nakreslený na papíru položeném výše).

Tak zároveň vedle pracuje s prázdnou plochou, která obsahuje jen ty sloupečky příkladů, které jsou od sebe vzdáleny tak jako násobilkové patníky výše na obrázku – tj. jako jsou od sebe vzdálena násobilková čísla v číselné řadě. Tj. mezi sloupečkem příkladů týkajících se čísla čtyři a příkladů týkajících se čísla šest bude jedna mezera, mezi příklady šestky a příklady osmičky taky, mezi osmičkou a devítkou nebude žádná mezera, mezi dvanáctkou a patnáctkou budou dvě mezery atd. Tím má šanci pojmout tu abstrakci číselné řady.

A pořád dokola se mu tak usazuje v hlavě obraz, v němž jsou mezi obyčejnými čísly zdůrazněna násobilková čísla jako vyšší, nápadnější, důležitější objekty – objekty, kterých si člověk snadněji všimne než těch čísel nenápadných, všedních.

Pokud dítě se schopností představit si v duchu číselnou řadu a pohybovat se na ní problémy má, vůbec nevadí – do žádných abstrakcí ho nehoním; může své sloupečky stavět přímo na (tentokrát už velký) papír s kresbou, přesně pod patníky s násobilkovými čísly. Tak jak tak se v dítěti už tím pohledem fixuje představa konkrétního tvaru číselné řady a možného pohybu v jejím prostoru – a vidí také ten systém – tj. že mezi řadou obyčejných patníků se vyvyšují patníky speciální, důležité, násobilkové. V hlavě se k těm důležitým a k jejich číslům, které jsou na nich výrazně a krásně namalované, začne vázat spojení.

A jízda parním válcem pokračuje: Je sedmička násobilkové číslo? – Není. A osmička? – Ano, ta je. 4×2=8, a tím pádem taky lze říct, že… – Nechám dítě to domyslet, ale velmi si dávám pozor, aby nemělo pocit nejistoty a selhávání. Vždyť co člověku nejde, to ho bavit nebude a bude se to nerad učit. Co člověku jde, do toho dá všecko. Takže když dítě odpověď neví, netrápím ho a opět vysvětlím ten princip:

Když čtyřikrát dvě je osm, můžeme se vsadit, že dvakrát čtyři bude taky osm. Takhle spolu ta dvě menší čísla tančí jako tanečníci – vyměňují si pozice. A když budeš tohle vědět, ušetříš si spoustu počítání.

A opět u každého dalšího příkladu ten trik znova ozřejmuju.

Nevadí, když to dítě příště zase neví – ta otázka není žádným zkoušením – je spíš nabízeným grifem, jak si ušetřit práci – jak tu námahu trošku ošidit. Ošidit námahu – to mají všichni lidi rádi, to zvedá motivaci.

A děličky u čísla 8 jsou jak? pokračuju, když máme násobilkové příklady u čísla 8 vyřešeny a zapsány na malých papírcích. – A opět – když dítě neví, sama řeknu, napíšu do patníku a vysvětluju ten mechanismus:

Když 4×2=8, tak 8:2=4. Ta čísla si prostě vymění místa, jako tanečníci. To největší z nich děleno jakýmkoli zbývajícím je to třetí zbývající. Opět šidíme námahu.

Touhle dobou už máme deset papírků s příklady. Takže si chvilku odpočineme a dáme opáčko. Dítěti dáme ty papírky znova do ruky a začínáme znova od jedničky: Jednička je násobilkové číslo? Atd.

Jednak aby se to utvrdilo, a jedna aby se dítě ujistilo, že je šikovné; jinak nemá parní válec žádnou páru.

A pokračujeme od patníku k patníku:

Je jednička násobilkové číslo? – Není. Správně. A dvojka – ta je násobilkové číslo? – Není. Správně. A trojka – je trojka násobilkové číslo? – Není. Správně. A čtyřka? Ano, čtyřka je první násobilkové číslo. A jaké jsou u čtyřky příklady?

Pokud si dítě vzpomene, řekne 2×2=4 a 4:2=2 (děličku mu můžeme připomenout), můžeme jet dál. Pokud si nevzpomene, vybereme s ním mezi těmi desíti papírky ty dva týkající se čtyřky, dítě je usadí pod čtyřku – a jedeme dál:

A pětka – je násobilkové číslo? – Není. Správně. A šestka? – Výborně. Šestka je násobilkové číslo. Které jsou tam příklady?

A opět – pokud to dítě dobře zvládne, jedeme přes sedmičku, na kterou se také ptáme (na každé číslo v číselné řadě se stále znova ptáme a ukazujeme na něj!) k osmičce.

Proč to děláme zatím pořád takhle od začátku? – Aby dítě vidělo, že to umí; že se v násobilce zatím vyzná – že ji může znova a znova osahávat, procházet se jí a ona že drží.

Pokud dítě zvládne dobře zodpovědět jak ta nižší čísla, tak i osmičku, můžeme popojet, tj. přidat devítku. Jen devítku! Nikdy ne dva příklady naráz! Pletly by se!

Tj. dáme otázku spojenou s číslem 9, dáme dohromady násobilkový příklad i děličku, dítě píše dva papírky, na jednom je 3×3 a z rubu 9, na druhém je 9:3 a z rubu 3. A vracíme se znova k minulým patníkům a projedeme je už i s tou devítkou.

Jestliže je to v pořádku, přidáváme desítku: 2×5, 5×2, 10:5 a 10:2. Čtyři papírky s příklady. A vracíme se na začátek číselné řady. Jde to samozřejmě stále rychleji. Dítě postupně neví jen výjimečně – což je pro něj vzhledem k předchozím školním frustracím okouzlující.

Pokud si dítě cestou přece jen nevzpomene, může si ty příklady najít mezi svými papírky, postavit je pod patník na správné místo, ještě jednou zopakovat a jedeme znova od začátku. Když to teď zvládne, můžeme na desítku. Atd.

Takto jsme zvládli postavit všechny patníky mezi prvními dvěma stromy, takže to můžeme oslavit – jako když pan magistrátní přestřihuje stuhu na novém úseku dálnice. Při té příležitosti můžeme vybarvit a ozdobit strom za patníkem číslo deset – cokoli můžeme udělat, co je obřadem a odpočinkem.

Oslavu si zasloužíme – postavili jsme pořádný kus silnice – dítě zvládlo deset patníků a umí na nich šestnáct příkladů, považte! Pravda – jsou zatím jednoduché, ale dítě je rádo, že něco umí. Zvyšuje mu to naději, že to zvládne.

Tady může končit první lekce. Aby si mozek odpočinul, aby položený asfalt uzrál, aby beton u patníků dobře ztvrdnul a patníky se nám nekácely.

Na začátku lekce druhé zopakujeme (v případě nejistoty i vícekrát) první část silnice – uhladíme ji, jako to dělají silničáři – a namalujeme kus dál na silnici další strom. A mezi něj a ten předchozí vmalujeme dalších deset patníků.

Mohu ujistit dítě, že od třicítky bude násobilkových patníků v každé desítce mezi dvěma stromy ubývat – postupně bude v desítce patníku i jen jediný násobilkový. Zde mu znova mohu připomenout udičku čísla 81 hozenou v první lekci.

Příkladů přidávám v každé lekci jen tolik, abych si mohla být jisti, že starý asfalt dobře zaschnul. Přidávám je po jednom a každý přidaný vždy znova a znova navěšuji na staré příklady – znova a znova jezdíme už postavenou silnicí od začátku. Jízda je stále rychlejší, protože se dítě stále méně a méně mýlí a odpovídá rychleji.

A protože všechny děti rády vyhrávají, ukončuji každou lekci motivačním násobilkovým zápasem. Zápasem, který vždy musí vyhrát dítě! O to se – velmi nenápadně samozřejmě – starám já!

Násobilkový zápas je popsán zde.